1) ثابت کنید در هر چهار ضلعی دلخواه، خطی که اوساط دو قطر را به هم وصل می کند و میانه های چهار ضلعی همرسند. (میانه چهار ضلعی، خطی است که اوساط دو ضلع مقابل را به هم وصل می کند)
۲) ثابت کنید میانه های چهارضلعی با هم برابرند اگر و تنها اگر قطرهای آن بر هم بر هم عمود باشند.
۳) اگر نقطه P خارج مستطیل ABCD باشد ثابت کنید:
PA2 + PC2 = PB2 + PD2
۴) مستطیلهای ABDE ، BCFG و CAHI را به طرف خارج روی اضلاع مثلث ABC به طرف خارج رسم میکنیم. ثابت کنید عمودمنصفهای DG ، FI و HE در یک نقطه همرسند.
۵) در مثلث ABC راس A قائمه است. از A خطی دلخواه میگذرانیم و عمودهای BB' و CC' را بر این خط رسم میکنیم. اگر A' قرینه A نسبت به وسط B'C' باشد ثابت کنید BA'C=90 .
۶) (قضیه لابنیتز) G مرکز ثقل مثلث ABC و M نقطه ای دلخواه در صفحه است. ثابت کنید:
3MG2 + ( AB2 + AC2 + BC2 )/3 = MA2 + MB2 + MC2
7) دایره محاطی داخلی مثلث ABC بر ضلعهای AB و AC در C’ و B’ مماس است. دایره محاطی خارجی رو به رو به راس A (دایره ای که بر BC و امتداد AB و AC مماس است) بر امتداد AB و AC در C’’ و B’’ مماس است. میانه وارد بر BC و امتداد آن، B’C’ و B’’C’’ را در E و F قطع میکند. ثابت کنید BECF متوازی الاضلاع است.
8) D پای نیمساز زاویه A در مثلث ABC است. از A خط d را مماس بر دایره محیطی مثلث رسم میکنیم. ثابت کنید خطی که از D موازی با d رسم میشود، بر دایره محاطی داخلی مثلث مماس است.
9) D و سط میانه AM از مثلث ABC است. ثابت کنید قرینه مرکز دایره محیطی نسبت به D، روی ارتفاع وارد بر BC قرار دارد.
10) نقاط M و N روی اضلاع AB و AC در مثلث ABC به نحوی انتخاب میشوند که داشته باشیم BM+CN=MN. ثابت کنید تمام این پاره خطهای MN بر یک دایره ثابت مماسند.
11) در مثلث قائم الزاویه ABC(A=90) H پای ارتفاع وارد بر BC است. D نقطه ای در صفحه است به طوری که BD=AB. اگر O مرکز دایره محیطی مثلث BCD باشد، ثابت کنید BO بر HD عمود است.
12) AH ارتفاع مثلث ABC است. از H عمودهای HD و HE را بر AB و AC وارد میکنیم. ثابت کنید اگر AH2 = 2 r2 آنگاه DE از مرکز دایره محیطی مثلث میگذرد.(r طول شعاع دایره محاطی داخلی است)
13) چهار ضلعی ABCD مفروض است. ثابت کنید چهار خطی که از وسط یک ضلع بر ضلع رو به رو عمود میشوند همرسند.
14) سه خط سوایی AA' ، BB' و CC' در مثلث ABC در نقطه M همرسند. ثابت کنید اگر M محل برخورد میانه های A'B'C' باشد آنگاه محل برخورد میانه های ABC نیز است.
15) M نقطه ای روی دایره محیطی مثلث متساوی الاضلاع ABC است. ثابت کنید AM+BM+CM مقداری ثابت و مستقل از محل M است.
16) P نقطه ای دلخواه داخل مثلث ABC است. قرینه های P را نسبت به اوساط اضلاع BC ، AC و AB به ترتیب P1 ، P2 و P3 می نامیم. ثابت کنید AP1 ، BP2 و CP3 همرسند.
